Voici un petit exercice donné à l'X en 2008 :
Montrer que la somme sur les parties A contenues dans {1, 2, ...n} des (-1)^|A| ( sum(X_i, i dans A))^n=(-1)^nn!X_1X_2...X_n.
Récompense et gloire à celui qui trouve d'ici lundi.

Plus joli :

Voulez vous une preuve rigoureuse avec des interversions de sommes, etc; ou peut-on se contenter du calcul direct des coefficients de chaque produit de Xi possible (modulo quelques explications bien sûr ^^) ?

http://img6.imageshack.us/img6/8322/dfimathsmp001.jpg (il faut cliquer sur la photo pour le zoom)

Sinon, pour une réponse élégante :

On prend la somme et on dérive par rapport à Xn

dSn/dXn = Somme pour AC[1,n] avec n€A des (-1)^|A|*n*(sigma i€A Xi)^(n-1)
= Somme pour AC[1,n-1] des -(-1)^|A|*n*(sigma i€A Xi + Xn)^(n-1)
= -n*Somme pour AC[1,n-1] des (-1)^|A|*(sigma i€A Xi + Xn)^(n-1)
On dérive par rapport à Xn-1 puis Xn-2 puis .... X2.

dSn/(dXn*dXn-1*...*dX2) = (-1)^(n-1)*n*(n-1)*..*2*Somme pour AC[1,1] des (-1)^|A|*(sigma i€A Xi +X2 + X3 +...+ Xn)^1

= n!*(-1)^n*(X1+X2+...+Xn)

Puis on dérive par rapport à X1

On arrive à n!*(-1)^n.

Ensuite on va calculer Sn en Xn = 0 (en laissant les autres coeffs indéterminés)

Sn(Xn=0) = Somme pour AC[1,n] avec n€A des (-1)^|A|*(sigma i€A\{n} Xi)^n + Somme pour AC[1,n-1] des (-1)^|A|*(sigma i€A Xi)^n

On fait dans la première somme le changement de variable A = A\{n}
= Somme pour AC[1,n-1] des (-1)^(|A|+1)*(sigma i€A Xi)^n + Somme pour AC[1,n-1] des (-1)^|A|*(sigma i€A Xi)^n
= Somme pour C[1,n-1] des [(-1)^(|A|+1)+(-1)^|A|]*(sigma i€A Xi)^n
= Somme des 0 !! = 0

Donc Xn apparaît dans tous les facteurs de la somme développée, comme ces facteurs sont d'ordre au plus n et qu'on peut raisonner symétriquement sur X1 ... Xn-1, on a un unique terme qui contient chacun des Xi.

Sn = µ*X1*X2*...*Xn

Or la dérivation précédente donne µ, µ = n!*(-1)^n

Et Sn = n!*(-1)^n*X1*...*Xn

CQFD !

Bon ok c'était pas si élégant, mais comme dirait Marc, c'est pas sorcier !